Für alle die sich fragen, was das ganze soll:

 

Ausgangspunkt für dieses Programm waren Überlegungen, die auf der mathematischen Gruppentheorie basieren. Die Tonskala des Abendlandes besteht aus 12 Halbtönen. Diese 12 Töne lassen sich als Elemente der zyklischen Gruppe Z12 interpretieren. Nun lässt sich mathematisch beweisen, daß Z12 das direkte Produkt der Gruppen Z3 und Z4 ist. Dies ist nicht etwa trivial, denn zum Beispiel Z2 und Z6 ergeben nicht Z12.

Wir haben uns gefragt, was diese Tatsache denn nun musikalisch bedeuten könnte. Der mathematische Beweis ist relativ einfach, die musikalische Deutung dagegen weniger. Wir wollen hier nicht zu sehr ins Detail gehen. Es ist niemandem zu verdenken, wenn er nicht gleich auf Anhieb alles versteht. Wir haben das auch nur gemeinsam Stück für Stück erarbeitet. Was herauskam, war anfangs genauso verblüffend wie letztendlich logisch: Z3 reflektiert die Gruppe der drei verminderten Akkorde (gestapelte kleine Terzen) und Z4 die der vier übermäßigen Akkorde (gestapelte große Terzen). Der Vollständigkeit halber sei noch gesagt, daß Z2 der Gruppe der beiden Ganztonskalen entspricht.

 

Beispiel:

·      Ein Element aus Z3 : C - D# - F# - A

·      Ein Element aus Z4 : C - E - G#

 

Das Modell mit den LEDs muss man sich 3-dimensional vorstellen. Das mittlere Quadrat ist der First eines Daches. Dann wird deutlich, daß das innere und äußere Quadrat auch direkt benachbart liegen. Man hat dann an jeder Ecke der äußeren Quadrate senkrecht darauf stehende Dreiecke. Im Modell werden diese durch die drei Quadrate ( Z3, Umfang ) und die vier Dreiecke ( Z4, Querschnitt ) dargestellt. Bei der Konstruktion des Modells ist es völlig egal an welchem Eckpunkt man mit welchem Ton beginnt, es ist immer in sich schlüssig. Auf der einen Diagonalen des Modells finden sich die Töne einer der zwei Ganztonskalen, auf der zweiten die der Anderen. Diese und weitere Schlussfolgerungen gehen klar aus dem Modell hervor. Auch der allseits bekannte Quintenzirkel findet sich als regelmäßiges Muster hierin wieder. Der Tritonus springt einem förmlich ins Auge. Für Mathematiker: Quinten, Quarten, Halbton auf und Halbton ab sind die vier Generatoren von Z12. Aus jedem dieser Elemente lässt sich die ganze Gruppe erzeugen. Damit haben wir die Bedeutung der Quintenzirkels schon gefunden.

 

Es gilt Z3 x Z4 = Z4 x Z3. Geometrisch gesehen ist beides ein Torus, ein Gebilde, das aussieht wie ein Donut - daher der Name. Das eine ist ein äußeres Quadrat mit innerem Dreieck, das andere ein äußeres Dreieck mit innerem Quadrat. Beide Modelle sind gleichwertig und lassen sich auch aus Holz oder Draht bauen. Nimmt man Holz, kann man entweder ein Quadrat aus einem Dreikantprofil oder ein Dreieck aus einem Vierkantprofil bauen. In diesem Computerprogramm wurde das Quadrat gewählt - der besseren Darstellbarkeit wegen. Plastisch gesehen ist das Dreieck ästhetischer, jedenfalls nach dem allgemeinen Geschmack. Mathematisch sind beide völlig gleichwertig (isomorph). Vieles in der Musik lässt sich mit mathematischen Formeln beschreiben. Dieses Beispiel ist unser bescheidener Beitrag dazu. Viel Spaß bei weiteren Analysen.

 

Hajü & Holger

 

Download:

Eine kleine Formelsammlung zum Thema